Question

13．如圖，拋物線y=-x²-2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，直線y=$\frac{1}{2}$x+m交x軸于M，交y軸于N，將△MON沿直線MN折疊，得到△MPN，若點(diǎn)P恰好落在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．

Answer 1

分析 如圖連接OP交MN于K．先求出直線OP的解析式為y=-2x，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2m}{5}}\\{y=\frac{4m}{5}}\end{array}\right.$，得到點(diǎn)K坐標(biāo)（-$\frac{2m}{5}$，$\frac{4m}{5}$），因?yàn)镺、P關(guān)于點(diǎn)K對稱，推出點(diǎn)P坐標(biāo)（-$\frac{4m}{5}$，$\frac{8m}{5}$），利用待定系數(shù)法即可求出m以及點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：如圖連接OP交MN于K．

∵OP⊥MN，直線MN的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m
∴直線OP的解析式為y=-2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2m}{5}}\\{y=\frac{4m}{5}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)K坐標(biāo)（-$\frac{2m}{5}$，$\frac{4m}{5}$），
O、P關(guān)于點(diǎn)K對稱，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-$\frac{4m}{5}$，$\frac{8m}{5}$），
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴$\frac{8m}{5}$=-（-$\frac{4m}{5}$）²+$\frac{8m}{5}$+3，
∴m=±$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴當(dāng)m=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)（-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），當(dāng)m=-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)（$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、一次函數(shù)的應(yīng)用、翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．