Question

4．如圖．反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象上有點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A（3m．m）、點(diǎn)B（n，n+1）（其中m＞0，n＞0）．
OA=2$\sqrt{10}$．
（1）求A、B點(diǎn)的坐標(biāo)及反比例函數(shù)解析式；
（2）如果M為x軸上一點(diǎn)，N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫出符合條件的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，并畫出相應(yīng)的矩形．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作輔助線，構(gòu)建直角△AOC，利用勾股定理求出m的值，寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此求出反比例函數(shù)的解析式，再求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）有兩種情況：過(guò)A、B分別作AB的垂線，得到兩個(gè)矩形，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，證明△ADB≌△M₂EN₂和△BGM₂≌△N₂FA，求出OM₂、OM₁的長(zhǎng)，并根據(jù)線段的長(zhǎng)寫出坐標(biāo)，注意象限的符號(hào)問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)A作AC⊥x軸于C，
∵點(diǎn)A（3m．m）、且A在第一象限，
∴AC=m，OC=3m，
∵OA=2$\sqrt{10}$，
由勾股定理得：${m}^{2}+（3m）^{2}=（2\sqrt{10}）^{2}$，
m=±2，
∵m＞0，
∴m=2，
∴A（6，2），
∴k=6×2=12，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=$\frac{12}{x}$；
∵點(diǎn)B（n，n+1）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴n（n+1）=12，
n²+n-12=0，
（n+4）（n-3）=0，
n=-4或3，
∵n＞0，
∴n=3，
∴B（3，4）；
（2）如圖2，過(guò)N₂作EF∥x軸，過(guò)A作DF⊥x軸，過(guò)M₂作M₂E⊥x軸，過(guò)B作BD∥x軸，分別交于E、F、D、G四點(diǎn)，
∵A（6，2），B（3，4），
∴AD=4-2=2，BD=6-3=3，
∵四邊形ABM₂N₂是矩形，
∴∠M₂BA=∠M₂N₂A=∠BAN₂=90°，AB=M₂N₂，
∴∠M₂N₂E+∠AN₂F=90°，∠N₂AF+∠AN₂F=90°，
∴∠M₂N₂E=∠N₂AF，
同理得：∠M₂N₂E=∠ABD，
∵∠M₂EN₂=∠BDA=90°，
∴△ADB≌△M₂EN₂，
∴M₂E=AD=2，N₂E=BD=3，
同理△BGM₂≌△N₂FA，
∴M₂G=AF=4，BG=FN₂，
∵∠M₂GB=∠ADB=90°，∠GM₂B=∠ABD，
∴△BDA∽△M₂GB，
∴$\frac{BD}{{M}_{2}G}$=$\frac{AD}{BG}$，
∴$\frac{3}{4}=\frac{2}{BG}$，
∴BG=$\frac{8}{3}$，
∴GH=OM₂=BH-BG=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴M₂（$\frac{1}{3}$，0），N₂（3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，-2），
∵AP=PF=2，
∴P是AF的中點(diǎn)，
∴PM₁△AFN₂的中位線，
∴M₁P=$\frac{1}{2}F{N}_{2}$=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴OM₁=OP-M₁P=6-$\frac{4}{3}$=$\frac{14}{3}$，
∴M₁（$\frac{14}{3}$，0），
∵△M₂N₂M₁≌△M₁N₁M₂，
∴N₁（$\frac{14}{3}$-3，2）即N₁（$\frac{5}{3}$，2）．
綜上所述，M₁（$\frac{14}{3}$，0），N₁（$\frac{5}{3}$，2）或M₂（$\frac{1}{3}$，0），N₂（$\frac{10}{3}$，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)和判定、利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，利用三角形全等和相似求出對(duì)應(yīng)的線段的長(zhǎng)，同時(shí)還采用了分類討論的思想，要證明兩三角形相似和全等時(shí)，運(yùn)用了同角的余角相等證明兩個(gè)角相等，這在圖形有直角的幾何題中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握．