Question

16．已知△ABC的兩邊AB、AC的長恰好是關(guān)于x的方程x²+（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5．
（1）求證：AB≠AC；
（2）如果△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，求k的值；
（3）填空：當k=k=-6或-7時，△ABC是等腰三角形，△ABC的周長為14或16．

Answer 1

分析 （1）AB≠AC；就是要證明無論k為何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根，就是證明△＞0，而△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，所以△＞0；
（2）要得到△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，即要有BC²=AC²+AB²，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系用k表示AC²+AC²，得到k的方程，解方程，再根據(jù)題意取舍即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后兩種情況相同，則可有另種情況，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值．

解答 （1）證明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根，
即AB≠AC；
（2﹚解：當△ABC是以BC為斜邊的直角三角形時，有AB²+AC²=BC²
又∵BC=5，兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x²+（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數(shù)根．
∴AB²+AC²=25，AB+AC=-（2k+3），AB•AC=k²+3k+2，
由（AB+AC）²-2AB•AC=25
∴（2k+3）²-2•（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，
∴k₁=2或k₂=-5
又∵AB+AC=-（2k+3）＞0
∴k₁=2舍去
∴k=-5；
（3）∵△ABC是等腰三角形；
∴當AB=AC時，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0
解得k不存在；
當AB=BC時，即AB=5，
∴5+AC=-（2k+3），5AC=k²+3k+2，
解得k=-6或-7，
∴AC=4或6
∴△ABC的周長為14或16．
即當k=-6或-7時，△ABC是等腰三角形，△ABC的周長為14或16．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)和一元二次方程的解法．