Question

2．如圖，拋物線y=mx²-16mx+48m（m＞0）與x軸交于A，B兩點（點B在點A左側(cè)），與y軸交于點C，點D是拋物線上的一個動點，且位于第四象限，連接OD、BD、AC、AD，延長AD交y軸于點E．
（1）若△OAC為等腰直角三角形，求m的值；
（2）若對任意m＞0，C、E兩點總關(guān)于原點對稱，求點D的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（3）當(dāng)點D運動到某一位置時，恰好使得∠ODB=∠OAD，且點D為線段AE的中點，此時對于該拋物線上任意一點P（x₀，y₀）總有n+$\frac{1}{6}$≥-4$\sqrt{3}$my₀²-12$\sqrt{3}$y₀-50成立，求實數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)y=mx²-16mx+48m，可得A（12，0），C（0，48m），再根據(jù)OA=OC，即可得到12=48m，進(jìn)而得出m的值；
（2）根據(jù)C、E兩點總關(guān)于原點對稱，得到E（0，-48m），根據(jù)E（0，-48m），A（12，0）可得直線AE的解析式，最后解方程組即可得到直線AE與拋物線的交點D的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)△ODB∽△OAD，可得OD=4$\sqrt{3}$，進(jìn)而得到D（6，-2$\sqrt{3}$），代入拋物線y=mx²-16mx+48m，可得拋物線解析式，再根據(jù)點P（x₀，y₀）為拋物線上任意一點，即可得出y₀≥-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，令t=-2（y₀+3$\sqrt{3}$）²+4，可得t_最大值=-2（-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$+3$\sqrt{3}$）²+4=$\frac{10}{3}$，再根據(jù)n+$\frac{1}{6}$≥$\frac{10}{3}$，可得實數(shù)n的最小值為$\frac{19}{6}$．

解答 解：（1）令y=mx²-16mx+48m=m（x-4）（x-12）=0，則x₁=12，x₂=4，
∴A（12，0），即OA=12，
又∵C（0，48m），
∴當(dāng)△OAC為等腰直角三角形時，OA=OC，
即12=48m，
∴m=$\frac{1}{4}$；

（2）由（1）可知點C（0，48m），
∵對任意m＞0，C、E兩點總關(guān)于原點對稱，
∴必有E（0，-48m），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，
將E（0，-48m），A（12，0）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{12k+b=0}\\{b=-48m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4m}\\{b=-48m}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=4mx-48m，
∵點D為直線AE與拋物線的交點，
∴解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=m（x-4）（x-12）}\\{y=4mx-48m}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-16m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=12}\\{y=0}\end{array}\right.$（點A舍去），
即點D的坐標(biāo)為（8，-16m）；

（3）當(dāng)∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD時，△ODB∽△OAD，
∴OD²=OA×OB=4×12=48，
∴OD=4$\sqrt{3}$，
又∵點D為線段AE的中點，
∴AE=2OD=8$\sqrt{3}$，
又∵OA=12，
∴OE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴D（6，-2$\sqrt{3}$），
把D（6，-2$\sqrt{3}$）代入拋物線y=mx²-16mx+48m，可得-2$\sqrt{3}$=36m-96m+48m，
解得m=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-4）（x-12），
即y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-8）²-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵點P（x₀，y₀）為拋物線上任意一點，
∴y₀≥-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
令t=-4$\sqrt{3}$my₀²-12$\sqrt{3}$y₀-50=-2y₀²-12$\sqrt{3}$y₀-50=-2（y₀+3$\sqrt{3}$）²+4，
則當(dāng)y₀≥-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$時，t_最大值=-2（-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$+3$\sqrt{3}$）²+4=$\frac{10}{3}$，
若要使n+$\frac{1}{6}$≥-4$\sqrt{3}$my₀²-12$\sqrt{3}$y₀-50成立，則n+$\frac{1}{6}$≥$\frac{10}{3}$，
∴n≥3$\frac{1}{6}$，
∴實數(shù)n的最小值為$\frac{19}{6}$．

點評 本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的最值，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求直線解析式的綜合應(yīng)用，解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．