Question

7．當x=$\frac{8}{3}$時，y=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（x-8）^{2}+16}$有最小值，最小值為10．

Answer 1

分析 把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成平面直角坐標系中的線段，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可求得．

解答 解：如圖，在坐標系中A（0，2），C（8，4），CD⊥x軸于D，A、B關(guān)于x軸對稱，BC交x軸于P，
則OA=OB=2，OD=8，CD=4，設OP=x，則PD=8-x，
∴PA=$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，PC=$\sqrt{（8-x）^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{（x-8）^{2}+16}$，
∵A、B關(guān)于x軸對稱，
∴PB=PA，
由題意可得：△BOP∽△CDP，
則$\frac{BO}{DC}$=$\frac{OP}{PD}$，
故$\frac{2}{4}$=$\frac{OP}{8-OP}$，
解得：OP=$\frac{8}{3}$，
即x=$\frac{8}{3}$，
過B作BE∥x軸交CD的延長線于E，
∴PA+PC=PB+PC=BC，CE=CD+OB=4+2=6，
∴PA+PC的最小值為BC，
∵BE=OD=8，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴PA+PC的最小值為10．
即y=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（x-8）^{2}+16}$的最小值為10．
故答案為：$\frac{8}{3}$，10．

點評 此題主要考查了利用軸對稱求最短路線以及勾股定理等知識，A、B關(guān)于x軸對稱是解題關(guān)鍵．