Question

5．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，E為BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD、CD，由AC為⊙O的直徑知△BCD是直角三角形，結(jié)合E為BC的中點(diǎn)知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，由OD²+DF²=OF²，即r²+4²=（r+2）²可得r=3，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖，連接OD、CD，

∵AC為⊙O的直徑，
∴△BCD是直角三角形，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE=DE，
∴∠CDE=∠DCE，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCD+∠DCE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，
∵∠ODF=90°，
∴OD²+DF²=OF²，即r²+4²=（r+2）²，
解得：r=3，
∴⊙O的直徑為6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的判定與圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握切線的判定與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．