Question

20．反比例函數(shù)y₁=$\frac{a}{x}$（a＞0，a為常數(shù)）和y₂=$\frac{2}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)M在y₂=$\frac{2}{x}$的圖象上，MC⊥x軸于點(diǎn)C，交y₁=$\frac{a}{x}$的圖象于點(diǎn)A；MD⊥y軸于點(diǎn)D，交y₁=$\frac{a}{x}$的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)M在y₂=$\frac{2}{x}$的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：
①S_△ODB=S_△OCA；
②四邊形OAMB的面積為2-a；
③當(dāng)a=1時(shí)，點(diǎn)A是MC的中點(diǎn)；
④若S_{四邊形OAMB}=S_△ODB+S_△OCA，則四邊形OCMD為正方形．
其中正確的是①②③．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）#G6．

Answer 1

分析 ①由反比例系數(shù)的幾何意義可得答案；
②由四邊形OAMB的面積=矩形OCMD面積-（三角形ODB面積+面積三角形OCA），解答可知；
③連接OM，根據(jù)已知條件得到y(tǒng)₁=$\frac{a}{x}$=$\frac{1}{x}$，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
④由①②知，2-a=a，解得：a=1，得到OC不一定等于OD，于是得到結(jié)論．

解答 解：①由于A、B在同一反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$圖象上，則△ODB與△OCA的面積相等，都為$\frac{1}{2}$×2=1，正確；
②∵點(diǎn)M在y₂=$\frac{2}{x}$的圖象上，MC⊥x軸于點(diǎn)C，交y₁=$\frac{a}{x}$的圖象于點(diǎn)A，
∴四邊形OAMB的面積=S_矩形DMCO-S_△BDO-S_△AOC=2-$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{2}$a=2-a；正確；
③連接OM，
∵a=1，

∴y₁=$\frac{a}{x}$=$\frac{1}{x}$，
∵A在函數(shù)y₁=$\frac{a}{x}$的圖象上，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AC=$\frac{1}{2}$，S_△MOC=$\frac{1}{2}$OC•CM=1，
∴AC=$\frac{1}{OC}$，CM=$\frac{2}{OC}$，
∴AC=$\frac{1}{2}$CM，
∴點(diǎn)A是MC的中點(diǎn)；正確；
由①②知，2-a=a，解得：a=1，
∵點(diǎn)M在y₂=$\frac{2}{x}$的圖象上運(yùn)動(dòng)，
∴OC不一定等于OD，
∴四邊形OCMD不一定為正方形，與a的取值無(wú)關(guān)，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)�？疾榈囊粋�(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．