Question

12．如圖，已知△ABC中，AB=AC=BC=6，D為AC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)P為射線BC上一動點(diǎn)
（1）如圖1，當(dāng)P在線段BC上時，若△PBD為軸對稱圖形，CD=AD，請完成作圖并求∠BPD的度數(shù)
（2）如圖2，當(dāng)P在線段BC的延長線上時，若CD=2AD，△PBD仍為軸對稱圖形，清完成作圖并求線段BP的長度

Answer 1

分析 （1）分兩種情形當(dāng)PB=PD時，∠PBD=∠PDB=30°，推出∠BPD=120°．當(dāng)BD=BP′時，∠BDP′=∠BP′D=75°；
（2）如圖，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E．則△ADE是等邊三角形，由△BED≌△DCP，推出CP=DE=2可得BP=BC+CP=6+2=8．

解答 解：（1）當(dāng)PB=PD時，∠PBD=∠PDB=30°，
∴∠BPD=120°
當(dāng)BD=BP′時，∠BDP′=∠BP′D=75°．


（2）如圖，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E．

∴△ADE為等邊三角形
∴∠BED=∠DCP=120°
若△PBD為軸對稱圖形時，則DB=DP
∴∠DBP=∠DPB
∵DE∥BC
∴∠EDB=∠DBC
可證：△BED≌△DCP（AAS）
∴CP=DE=2
∴BP=BC+CP=6+2=8．

點(diǎn)評 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．