Question

7．如圖，CD為⊙O的直徑，點B在⊙O上，連接BC、BD，過點B的切線AE與CD的延長線交于點A，OE∥BD，交BC于點F，交AE于點E．
（1）求證：∠E=∠C；
（2）當⊙O的半徑為3，tanC=$\frac{2}{5}$時，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，利用已知條件和切線的性質證明：OE∥BD，即可證明：∠E=∠C；
（2）由（1）證得∠E=∠C，于是得到 tanE=tanC=$\frac{2}{5}$，在Rt△OBE中，OB=3，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義就看得到BE=$\frac{OB}{tanE}$=$\frac{3}{\frac{2}{5}}$=$\frac{15}{2}$．

解答 （1）證明：連接OB，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，
∵AE是⊙O的切線，
∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°，
∴∠ABD=∠CBO，
∵OB、OC是⊙O的半徑，
∴OB=OC，
∴∠C=∠CBO，
∵OE∥BD，
∴∠E=∠ABD，
∴∠E=∠C；

（2）由（1）證得∠E=∠C，
∴tanE=tanC=$\frac{2}{5}$，
在Rt△OBE中，OB=3，
∴BE=$\frac{OB}{tanE}$=$\frac{3}{\frac{2}{5}}$=$\frac{15}{2}$．

點評 此題考查了切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定和性質，勾股定理的運用，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．