Question

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是BC中垂線l上一動點(diǎn)，連接PA，交CB于點(diǎn)E，F(xiàn)是點(diǎn)E關(guān)于l的對稱點(diǎn)．將PF延長交AB于點(diǎn)D，連接CD交PA于點(diǎn)G．
（1）如圖，若點(diǎn)P移動到BC下方時，求證：∠AEC=∠DFB，CD⊥AE；
（2）如圖，若點(diǎn)P移動到BC的上方時，其他條件不變，請試寫出線段AE、CD、DF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）可通過構(gòu)建全等三角形得出角相等來求證．要證CG⊥AP，那么就要證出∠BCD=∠CAH，那么可構(gòu)建與三角形BCD全等的三角形來求解．過C作∠BCA的平分線交AP于H，那么就是證△ACH和△BDC全等，已知AC=BC，∠ACH=∠B=45°，只要證出CH=BD就能得出兩三角形全等，那么我們可通過全等△CHE和△BDF來求證．由于E，F(xiàn)關(guān)于MN對稱，那么CE=BF，PE=PF，可得出∠PEF=∠PFE，也就是∠CEH=∠DFB，又已知了∠HCB=∠B=45°，因此就能得出△CEH與△DFB全等，就能得出CH=BD，也就能得出△AHC與△BDC全等了．進(jìn)而可通過∠DCB=∠CAG來得出CG⊥AP；
（2）如圖2，作∠ACB的角平分線交AP于H，于是得到∠BCH=∠ACH=45°根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=45°由于P為BC的中垂線MN上一點(diǎn)，E，F(xiàn)關(guān)于l對稱，于是得到CE=BF，PE=PF，求得∠PEF=∠PFE，推出△CEH≌△BFD（ASA）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=FD，通過△ACH≌△CBD得到AH=CD，即可得到結(jié)論．

解答 （2）證明：如圖1，作∠ACB的角平分線交AP于H，
∵∠ACB=90°
∴∠BCH=∠ACH=45°
在Rt△ABC中
∵BC=AC
∴∠B=45°
又∵P為BC的中垂線MN上一點(diǎn)，E，F(xiàn)關(guān)于l對稱，
∴CE=BF，PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴∠AEC=∠BFD，
在△CEH與△BFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECH=∠B}\\{CE=BF}\\{∠CEH=∠BFD}\end{array}\right.$，
∴△CEH≌△BFD（ASA）．
∴CH=BD，
在△ACH與△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACH=∠B=45°}\\{CH=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△CBD
∴∠BCD=∠CAH，
∵∠CAE+∠CEA=90°
∴∠GCE+∠CEG=90°
∴∠CGH=90°
∴CD⊥AE；

（2）AE=CD+DF，
證明：如圖2，作∠ACB的角平分線交AP于H，
∵∠ACB=90°
∴∠BCH=∠ACH=45°
在Rt△ABC中
∵BC=AC
∴∠B=45°
又∵P為BC的中垂線MN上一點(diǎn)，E，F(xiàn)關(guān)于l對稱，
∴CE=BF，PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴∠AEC=∠BFD，
在△CEH與△BFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECH=∠B}\\{CE=BF}\\{∠CEH=∠BFD}\end{array}\right.$，
∴△CEH≌△BFD（ASA）．
∴EH=FD，
在△ACH與△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACH=∠B=45°}\\{CH=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△CBD，
∴AH=CD，
∵AE=AH+EH，
∴AE=CD+DF．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知和所求的條件構(gòu)建出全等三角形是解題的關(guān)鍵．