Question

5．如圖（1），四邊形ABCD是一張邊長為2a的正方形紙片，先將正方形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個正方形展平，然后沿直線CG折疊，使點B落在EF上，對應點為B′．
（1）求∠EGB′的度數；
（2）求tan∠B′CG（結果保留根號）；
（3）如圖（2），按以下步驟進行操作：
第一步：先將正方形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個正方形展平，然后繼續(xù)對折，使AB與DC重合，折痕為MN，再把這個正方形展平，設EF和MN相交于點O；
第二步：沿直線CG折疊，使B點落在EF上，對應點為B′，再沿直線AH折疊，使D點落在EF上，對應點為D′；
第三步：設CG、AH分別與MN相交于點P、Q，連接B′P、PD′、D′Q、QB′，求四邊形B′PD′Q的面積．

Answer 1

分析 （1）根據折疊的性質，CB′=BC=2a，CF=a，易求∠CB′F=30°，再根據同角的余角相等得出∠EGB′=30°；
（2）在Rt△CFB′中，可知B′F=$\sqrt{3}$a，EB′=2a-$\sqrt{3}$a，設GB′=x，則EG=a-x，在Rt△EGB′中，根據勾股定理列方程求解，然后根據正切定義計算即可；
（3）連接AB′利用三角形全等及對稱性得出EB′=NP=FD′=MQ，由兩次對折可得，OE=ON=OF=OM，OB′=OP=0D′=OQ，四邊形B′PD′Q為矩形，由對折知，MN⊥EF，于點O，PQ⊥B′D′于點0，得到四邊形B′PD′Q為正方形，又PB′=$\frac{1}{2}$CG，根據勾股定理求出CG，即可求出四邊形B′PD′Q的面積．

解答 解：（1）根據折疊的性質，CB′=BC=2a，CF=a，
∵$\frac{CF}{CB′}=\frac{1}{2}$
∴∠CB′F=30°，
∵∠GB′C=90°，
∴∠EGB′=30°；
（2）如圖1，在Rt△CFB′中，可知B′F=$\sqrt{3}$a，
∴EB′=2a-$\sqrt{3}$a，
設GB′=x，則EG=a-x，
∴x²=（a-x）²+（2a-$\sqrt{3}$a）²，
解得：x=（4-2$\sqrt{3}$）a，
在Rt△CGB′中，
tan∠B′CG=$\frac{GB′}{CB′}=\frac{（4-2\sqrt{3）}a}{2a}$=2-$\sqrt{3}$；
證明：如圖2，連接AB′
由（2）可知∠B′AE=∠GCB′，由折疊可知，∠GCB′=∠PCN，
∴∠B′AE=∠PCN，
由對折知∠AEB′=∠CNP=90°，AE=$\frac{1}{2}$ AB，CN=$\frac{1}{2}$ BC，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AE=CN，
在△AEB′和△CNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B′AE=∠PCN}\\{AE=CN}\\{∠AEB′=∠CNP}\end{array}\right.$，
∴△AEB′≌△CNP（ASA），
∴EB′=NP，
同理可得，EB′=MQ，
由對稱性可知，EB′=FD′，
∴EB′=NP=FD′=MQ，
由兩次對折可得，OE=ON=OF=OM，
∴OB′=OP=0D′=OQ，
∴四邊形B′PD′Q為矩形，
由對折知，MN⊥EF，于點O，
∴PQ⊥B′D′于點0，
∴四邊形B′PD′Q為正方形，
根據折疊的性質知，P為CG的中點，
∴PB′=$\frac{1}{2}$CG，
∵CG²=BG²+CB²=[（4-2$\sqrt{3}$）a]²+（2a）²=（32-16$\sqrt{3}$）a²，
∴四邊形B′PD′Q的面積=PB′²=（$\frac{1}{2}$CG）²=$\frac{1}{4}$×（32-16$\sqrt{3}$）a²=（8-$\sqrt{3}$）a²．

點評 本題主要考查了四邊形的綜合題，解決本題的關鍵是找準對折后的相等角，相等邊，解決第3小題的關鍵是證明四邊形B′PD′Q是正方形．