Question

6．如圖，平面直角坐標系中有一點A（a，b），且滿足$\sqrt{a-8}$+（b-4）²=0，將Rt△ABC的直角頂點與A重合并繞直角頂點A旋轉(zhuǎn)，直角邊AB與x軸始終交于D，連接OA．
（1）求A點坐標；
（2）若平面內(nèi)有一點M，使四邊形ADOM組成菱形，求D點坐標；
（3）當△ABC繞直角頂點A旋轉(zhuǎn)過程中，若另一直角邊AC與x軸交于E，此時$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{E}^{2}}$的值是否發(fā)生變化？若不變，求$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{E}^{2}}$的值是多少？若改變請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出算式，求出a、b的值，得到A點坐標；
（2）作AN⊥x軸于點N，設(shè)OD=x，根據(jù)菱形的四條邊相等列出方程，解方程即可；
（3）根據(jù)三角形的面積公式得到AD×AE=DE×AN，根據(jù)勾股定理、分式的加減運算法則計算即可．

解答 解：（1）由題意得，a-8=0，b-4=0，
解得，a=8，b=4，
則點A的坐標為（8，4）；

（2）作AN⊥x軸于點N，
∵四邊形ADOM組成菱形，
∴OD=AD，
設(shè)OD=x，則AD=x，DN=8-x
在Rt△ADN中AD²=DN²+AN²
即x²=（8-x）²+4²，
解得，x=5
∴D坐標（5，0）；

（3）$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{E}^{2}}$的值不變，
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$×AD×AE=$\frac{1}{2}$×DE×AN，
∴AD×AE=DE×AN，
∴AD²×AE²=DE²×AN²，
則$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{A{D}^{2}+A{E}^{2}}{A{D}^{2}×A{E}^{2}}$=$\frac{D{E}^{2}}{D{E}^{2}×A{N}^{2}}$
=$\frac{1}{A{N}^{2}}$
=$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查的是菱形的性質(zhì)、非負數(shù)的性質(zhì)，掌握菱形的四條邊相等、靈活運用三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．