Question

19．在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等腰直角三角形ACB與ECD的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，點(diǎn)N、M分別為線段AB、DE上的動(dòng)點(diǎn)，且BN=EM．
（Ⅰ）如圖①，當(dāng)BN=$\sqrt{2}$時(shí)，計(jì)算CN+CM的值等于$\sqrt{10}$+$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）當(dāng)CN+CM取得最小值時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D②所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段CN和CM，并簡要說明點(diǎn)M和點(diǎn)N的位置是如何找到的（不要求證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)當(dāng)BN=EM=$\sqrt{2}$時(shí)，點(diǎn)N和點(diǎn)M在格點(diǎn)上，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到CN+CM的值；
（2）取格點(diǎn)P、Q，使得PB=CE，PB⊥BC，QE=CB，QE⊥AC，連接CP交AB于N，連接CQ交DE于M，則根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，以及兩點(diǎn)之間線段最短，可得線段CN和CM即為所求．

解答 解：（1）當(dāng)BN=EM=$\sqrt{2}$時(shí)，點(diǎn)N和點(diǎn)M在格點(diǎn)上，
∴CN+CM=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$+$\sqrt{2}$；

（2）如圖所示，取格點(diǎn)P、Q，使得PB=CE，PB⊥BC，QE=CB，QE⊥AC，
連接CP交AB于N，連接CQ交DE于M，則線段CN和CM即為所求．

理由如下：根據(jù)等腰直角三角形ACB與ECD的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，可得∠PBN=∠CEM=45°，∠CBN=∠QEM=45°，而BN=EM，
故△BPN≌△ECM，△CBN≌△QEM，
∴PN=CM，CN=QM，
∴當(dāng)P，N，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM+CN=PN+CN=PC（最短），
當(dāng)Q，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM+CN=CM+MQ=QC（最短），
∴點(diǎn)M和點(diǎn)N的位置符合題意．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了復(fù)雜作圖，勾股定理以及全等三角形判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．