Question

10．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD的延長線上，且CE=CA，連接AE，過點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，連接BF．如果AB=4，則BF²的值為16+8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接DF，作FH⊥CE于H，首先證明△FDC≌△FAB，推出FC=FB，在Rt△CFH中，求出FH、CH即可解決問題．

解答 解：連接DF，作FH⊥CE于H．
∵CE=CA，CF⊥EC，
∴EF=AF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠ADC=∠ADE=∠DAB=90°，
∴DF=AF，AC=CE=4$\sqrt{2}$，
∴∠FDA=∠FAD，
∴∠FDC=∠FAB，∵DC=AB，
∴△FDC≌△FAB，
∴FC=FB，
∴DE=CE-CD=4$\sqrt{2}$-4，
在Rt△FCH中，易知FH=2，CH=2$\sqrt{2}$+2，
∴CF²=FH²+CH²=16+8$\sqrt{2}$，
∴BF²=16+8$\sqrt{2}$，
故答案為16+8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．