Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+4交x軸于點A（-2，0）和B（B在A右），交y軸于點C，直線y=2kx-12k經(jīng)過點B，交y軸于點D，CD=OD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若P是第一象限拋物線上的一點，過P點作PH⊥BD于H，設(shè)P點的橫坐標(biāo)是t，求當(dāng)PH的長最大時P點坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，將射線PH繞著點P順時針方向旋轉(zhuǎn)45°交拋物線于點Q，求Q點關(guān)于直線PH的對稱點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求出點B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）設(shè)P（t，-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t+4），由cos∠HPM=cos∠DBO，可得$\frac{PH}{PM}$=$\frac{OB}{BD}$，由此構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
（3）想辦法首先求出點Q的坐標(biāo)，再求出點Q關(guān)于直線PH的對稱點的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵y=2kx-12k 經(jīng)過B點，
∴當(dāng)y=0，x=6，
∴B（6，0），又∵A（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{36a+6b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4．

（2）如圖，過點P作PM∥y軸交BD于點M，設(shè)P（t，-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t+4），

∵CD=OD，
當(dāng)x=0時y=4，
∴C（0，4）
∴OD=2，
∴D（0，2），
∴BD=2$\sqrt{10}$，
設(shè)直線BD解析式為y=mx+n，
∴6m+n=0，n=2，
∴y_BD=-$\frac{1}{3}$x+2，
∴M（t，-$\frac{1}{3}$t+2），
∴PM=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{5}{3}$t+2，
∵∠HPM=∠DBO，
∴cos∠HPM=cos∠DBO，
∴$\frac{PH}{PM}$=$\frac{OB}{BD}$，
∴$\frac{PH}{-\frac{1}{3}{t}^{2}+\frac{5}{3}t+2}$=$\frac{6}{2\sqrt{10}}$，
∴PH=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$t²+$\frac{\sqrt{10}}{2}$t+$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴PH=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{49\sqrt{10}}{40}$，
∴當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時，PH值最大，
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$）．

（3）過點P作PF⊥x軸于點F，過點H作HG⊥PF于點G，BD與PQ交于點N，過N作NE⊥HG于E．

∵∠HPN=45°，PH⊥BD，
∴PH=HN，
∴△PHG≌△HNE，
∴HG=NE，PG=EH，
由（2）得     PH=$\frac{49\sqrt{10}}{40}$，HG=$\frac{49}{40}$PG=$\frac{147}{40}$，
∴EH=$\frac{147}{40}$，EN=$\frac{49}{40}$，
∴N（-$\frac{12}{5}$，$\frac{14}{5}$），P（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$），
∴y_PN=$\frac{1}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{21}{4}}\end{array}\right.$，
∴Q（0，4），易知直線PH的解析式為y=3x-$\frac{9}{4}$，
過點Q垂直PH的直線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+4}\\{y=3x-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{8}}\\{y=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$，
設(shè)Q關(guān)于PH的對稱點為（m，n），
則有$\frac{15}{8}$=$\frac{0+m}{2}$，$\frac{27}{8}$=$\frac{4+n}{2}$，
∴m=$\frac{15}{4}$，n=$\frac{11}{4}$，
∴可知Q點關(guān)于PH對稱點E（$\frac{15}{4}$，$\frac{11}{4}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會關(guān)鍵二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會利用方程組確定兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)，屬于中考壓軸題．