Question

10．在半徑為4的⊙O中，點C是以AB為直徑的半圓弧的中點，OD⊥AC，垂足為D點，點E是射線AB上的任意一點，DF∥AB，DF與CE交于點F，設(shè)EF=x，DF=y．
（1）如圖1，當(dāng)點E在射線OB上時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如圖2，當(dāng)點F在⊙O上時，求線段DF的長；
（3）如果以點E為圓心、EF為半徑的圓與⊙O相切，請直接寫出線段DF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖1，根據(jù)垂徑定理可得OD=AD，根據(jù)平行線分線段成比例可得CF=EF，根據(jù)三角形的中位線定理可得DF=$\frac{1}{2}$AE．由點C是以AB為直徑的半圓的中點可得∠AOC=∠BOC=90°，根據(jù)勾股定理可用x的代數(shù)式表示OE，從而表示出AE，DF，即可解決問題；
（2）當(dāng)點F在⊙O上時，連接OC、OF，如圖2，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OF=EF=CF=4，即x=4，代入（1）中y與x的函數(shù)關(guān)系式，即可解決問題；
（3）由于兩圓相切包括外切與內(nèi)切，因此需分情況討論，可分三種情況（①⊙E與⊙O外切于點B，②⊙E與⊙O內(nèi)切于點B，③⊙E與⊙O內(nèi)切于點A）討論，用x的代數(shù)式表示出OE，代入CE²-OE²=CO²，求出x，就可解決問題．

解答 解：（1）連接OC，如圖1．

∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，
∴OD=AD．
∵DF∥AB，
∴CF=EF，
∴DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$（AO+OE）．
∵點C是以AB為直徑的半圓的中點，
∴∠AOC=∠BOC=90°．
∵EF=x，AO=CO=4，
∴CE=2x，OE=$\sqrt{C{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{4{x}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}-4}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（4+2$\sqrt{{x}^{2}-4}$）=2+$\sqrt{{x}^{2}-4}$，自變量x的取值范圍為x≥2；

（2）當(dāng)點F在⊙O上時，連接OC、OF，如圖2，

則有OF=EF=CF=4，即x=4，
∴DF=2+$\sqrt{{4}^{2}-4}$=2+2$\sqrt{3}$；

（3）①當(dāng)⊙E與⊙O外切于點B時，
則有BE=FE=x，OE=x+4．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（x+4）²=4²，
整理得：3x²-8x-32=0，
∴x₁=$\frac{4+4\sqrt{7}}{3}$，x₂=$\frac{4-4\sqrt{7}}{3}$（舍去），
∴DF=$\frac{1}{2}$（AB+BE）=$\frac{1}{2}$（8+$\frac{4+4\sqrt{7}}{3}$）=$\frac{14+2\sqrt{7}}{3}$．
②當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點B時，
則有BE=FE=x，OE=4-x．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，
整理得：3x²+8x-32=0，
∴x₁=$\frac{-4+4\sqrt{7}}{3}$，x₂=$\frac{-4-4\sqrt{7}}{3}$（舍去）．
∴DF=$\frac{1}{2}$（AB-BE）=$\frac{1}{2}$（8-$\frac{-4+4\sqrt{7}}{3}$）=$\frac{14-2\sqrt{7}}{3}$．
③當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點A時，
則有AE=FE=x，OE=4-x．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，
整理得：3x²+8x-32=0，
∴x₁=$\frac{-4+4\sqrt{7}}{3}$，x₂=$\frac{-4-4\sqrt{7}}{3}$（舍去），
∴DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$．

點評 本題主要考查了垂徑定理、平行線分線段成比例、三角形的中位線定理、弧與圓心角的關(guān)系、勾股定理、相切兩圓的數(shù)量關(guān)系、解一元二次方程、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，還用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，利用CE²-OE²=CO²是解決本題的關(guān)鍵．