Question

15．如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積標(biāo)記為S₁，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S₂，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S₂₀₁₇的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{{2}^{2014}}$
• B． $\frac{1}{{2}^{2015}}$
• C． $\frac{1}{{2}^{2016}}$
• D． $\frac{1}{{2}^{2017}}$

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出2S₂=S₁，寫出部分S_n的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，∵正方形ABCD的邊長為1，△CDE為等腰直角三角形，
∴DE²+CE²=CD²，DE=CE，
∴2S₂=S₁．
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
S₁=1²=1，S₂=$\frac{1}{2}$S₁=$\frac{1}{2}$，S₃=$\frac{1}{2}$S₂=$\frac{1}{4}$，S₄=$\frac{1}{2}$S₃=$\frac{1}{8}$，…，
∴S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．
當(dāng)n=2017時(shí)，S₂₀₁₇=（$\frac{1}{2}$）^2017-1=（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁶=$\frac{1}{{2}^{2016}}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．解決該題型題目時(shí)，寫出部分S_n的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．