Question

16．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師出示圖1和下面框中條件：如圖1，兩塊等腰直角三角板ABC和DEF有一條邊在同一條直線l上，∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2．將直線EB繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)45°，交直線AD于點(diǎn)M．將圖1中的三角板ABC沿直線l向右平移，設(shè)C、E兩點(diǎn)間的距離為x．
（1）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時，求$\frac{DM}{AM}$的值；
（2）在平移過程中，$\frac{DM}{AM}$的值可以用怎樣的含x的代數(shù)式表示？說明理由；
（3）將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，原題中的其他條件保持不變．當(dāng)點(diǎn)A落在線段DF上時，如圖3所示，請你補(bǔ)全圖形，并求出$\frac{DM}{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得EM垂直平分DF，直線AF∥EM，從而$\frac{DM}{AM}$轉(zhuǎn)化為$\frac{DO}{OF}$，繼而得出結(jié)論；
（2）仿照（1）的思路進(jìn)行求解即可；
（3）先補(bǔ)全圖形，連接AE，分別求出AM及DM的值，然后可確定比值．

解答 解：（1）如圖1，
∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，
∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，
∴$\frac{DM}{AM}$=$\frac{DO}{OF}$=1；
（2）如圖2，由（1）可得 $\frac{DM}{AM}$=$\frac{DO}{OH}$=$\frac{OF}{OH}$=$\frac{EF}{EC}$，
∵EF=DE=2，CE=x
∴$\frac{DM}{AM}$=$\frac{2}{x}$，
（3）連接AE，補(bǔ)全圖形如圖3所示，
∵△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，DE=2，AB=1，
∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°
∴DF=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，∠EFB=90°
∴DF=2AC，AD=$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)A為CD的中點(diǎn)，
∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，
∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=$\sqrt{2}$，
∵∠BEM=45°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，
∴∠1=∠3，F(xiàn)FF
∴△AEM∽△FEB，
∴$\frac{AM}{BF}=\frac{AE}{EF}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DM=AD-AM=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{DM}{AM}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了相似形綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，考察的知識點(diǎn)比較多，難度較大，解答本題之前一定要將圖形畫出來，這樣可以使我們的思考方向更準(zhǔn)確一些，另外要求我們熟練掌握各個基礎(chǔ)知識點(diǎn)的內(nèi)容．