Question

13．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，若AC=12，則四邊形ABCD的面積最大值為（　�。�

• A． 36
• B． $36\sqrt{2}$
• C． 72
• D． $72\sqrt{2}$

Answer 1

分析 解：過A點分別作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，連接EF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AF，S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形AECF}，當四邊形AECF的面積最大時，四邊形AECF是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到EF=AC，EF⊥AC，于是得到結(jié)論．

解答 解：過A點分別作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，連接EF，
∵∠ADF+∠ABC=180°，且∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ADF=∠ABE，在△ABE與△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠AFD}\\{∠ABE=∠ADC}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形AECF}=$\frac{1}{2}$•AC•EF
當EF=AC時，四邊形AECF的面積最大，此時四邊形AECF是正方形，
∴EF=AC，EF⊥AC，
∴四邊形ABCD的面積最大值=$\frac{1}{2}$AC²=$\frac{1}{2}$×12²=72，
故選C．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正方形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．