Question

8．方程2$\sqrt{1+x}$-$\sqrt{2+2\sqrt{1-{x}^{2}}}$=1的解是x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由二次根式有意義條件得出x的范圍，利用完全平方根式化簡(jiǎn)原方程可得$\sqrt{1+x}$-$\sqrt{1-x}$=1，兩次兩邊平方將無(wú)理方程化為整式方程，解之可得．

解答 解：∵$\left\{\begin{array}{l}{1+x≥0}\\{1-{x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
∴-1≤x≤1，
原方程可化為：2$\sqrt{1+x}$-$\sqrt{（\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}）^{2}}$=1，
2$\sqrt{1+x}$-（$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$）=1，
$\sqrt{1+x}$-$\sqrt{1-x}$=1，
兩邊平方可得：2-2$\sqrt{1-{x}^{2}}$=1，
∴$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴1-x²=$\frac{1}{4}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查無(wú)理方程的求解，通過(guò)變形將無(wú)理方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵．