Question

7．在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，D為垂足，G為BC的中點，求證：∠DGC=∠B．

Answer 1

分析 延長CD交AB上一點F，根據(jù)三角形的判定和性質(zhì)得出△ADC≌△ADF，DC=FD，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出DG∥AB，進而可證明∠DGC=∠B．

解答 證明：延長CD交AB上一點F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°
在△ADC和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\\{∠ADC=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ADF（ASA），
∴CD=DF，
∵G是BC的中點
∴DG是△BCF的中位線，
∴DG∥BF，
∵BF在AB上，
∴DG∥AB，
∴∠DGC=∠B．

點評 此題考查了三角形中位線定理和三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是根據(jù)題意作出輔助線，證出DG∥BF．