Question

2．先觀察下列等式，再回答下列問題：
①$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{1+1}$=1$\frac{1}{2}$；
②$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2+1}$=1$\frac{1}{6}$；
③$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$=1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3+1}$=1$\frac{1}{12}$．
（1）請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想$\sqrt{1+\frac{1}{{5}^{2}}+\frac{1}{{6}^{2}}}$的結(jié)果，并驗證；
（2）請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用含n的式子表示的等式（n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，可得答案；
（2）根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1$\frac{1}{n（n+1）}$．

解答 解：（1）$\sqrt{1+\frac{1}{{5}^{2}}+\frac{1}{{6}^{2}}}$=1+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$=1$\frac{1}{30}$，
$\sqrt{1+\frac{1}{{5}^{2}}+\frac{1}{{6}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}}$=$\sqrt{\frac{25×36+36+25}{25×36}}$=$\sqrt{\frac{3{1}^{2}}{3{0}^{2}}}$=$\frac{31}{30}$=1$\frac{1}{30}$；
（2）$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1$\frac{1}{n（n+1）}$．

點評 本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1$\frac{1}{n（n+1）}$是解題關(guān)鍵．