Question

16．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}$x-5與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，有一寬度為1，長度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和點Q，交直線AC于點M和點N，交x軸于點E和點F．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）當點M和點N都在線段AC上時，連接EN，如果點E的坐標為（-4，0），求sin∠ANE的值；
（3）在矩形平移過程中，當以點P、Q、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）令y=0得到關(guān)于x的方程可求得點A和點B的橫坐標，故此可求得點A和點B的坐標，令x=0，求得對應(yīng)的y的值，可得到點C的坐標；
（2）作EG⊥AC，垂足為點G．先證明△AEG為等腰直角三角形，可得到FG的長，然后再求得FN的長，接下來依據(jù)勾股定理可求得EN的長，最后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可；
（3）設(shè)直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+b．將點A和點C的坐標代入求得k、b的值可得到AC的解析式，當MN為邊時，設(shè)點P（n，$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-5），則點Q（n+1，$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-6），點N（n+1，-n-6）．然后依據(jù)點P與點N的縱坐標之差為1列方程求解即可；當MN是平行四邊形的對角線時，設(shè)點E的坐標為（m，0），則M（m，-m-5），N（m+1，-m-6），P（m，$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5），Q（m+1，$\frac{1}{3}$（m+1）²+$\frac{2}{3}$（m+1）-5）．最后依據(jù)PM=QN列方程求解即可．

解答 解：（1）令y=0得：$\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}$x-5=0，解得x=-5或x=3．
∵點B在點A的右側(cè)，
∴點A、B的坐標分為（-5，0）、（3，0）．
當x=0時，y=-5，
∴點C的坐標為（0，-5）．

（2）作EG⊥AC，垂足為點G．

∵點E的坐標為（-4，0），
∴OE=4．
∵OA=OC=5，
∴AE=1，∠OAC=45°．
∴AF=FN=2，GE=AE•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△EFN中，依據(jù)勾股定理可知NE=$\sqrt{E{F}^{2}+F{N}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴sin∠ANE=$\frac{GE}{EN}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

（3）設(shè)直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+b．
將點A和點C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=-5．
∴直線AC的函數(shù)表達式為y=-x-5．
①當MN為邊時，如圖2所示：

設(shè)點P（n，$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-5），則點Q（n+1，$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-6），點N（n+1，-n-6）．
∴$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$n-6=$\frac{1}{3}$（n+1）²+$\frac{2}{3}$（n+1）-5，解得n=-3．
∴點N的坐標為（-2，-3）．
當MN是平行四邊形的對角線時，如圖3所示：

設(shè)點E的坐標為（m，0），則M（m，-m-5），N（m+1，-m-6）．
∵PM=QN，P（m，$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5），Q（m+1，$\frac{1}{3}$（m+1）²+$\frac{2}{3}$（m+1）-5）．
∴-m-5-（$\frac{1}{3}$m2+$\frac{2}{3}$m-5）=$\frac{1}{3}$（m+1）²+$\frac{2}{3}$（m+1）-5-（-m-6），解得m=-3±$\sqrt{6}$．
∴點N的坐標為（-2$+\sqrt{6}$，-3-$\sqrt{6}$）或（-2-$\sqrt{6}$，-3+$\sqrt{6}$）．
綜上所述，以點P、Q、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形時，點N的坐標為（-2，-3）或（-2$+\sqrt{6}$，-3-$\sqrt{6}$）或（-2-$\sqrt{6}$，-3+$\sqrt{6}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了點的坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)，用含字母n或m的式子表示出點M、P、Q、N的坐標，然后依據(jù)平行線四邊形的性質(zhì)列出關(guān)于m或n的方程是解題的關(guān)鍵．