Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點E、F都對角線AC上，且AE=EF=FC，則線段BE和DF的距離為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{3\sqrt{17}}{17}$
• D． $\frac{4\sqrt{17}}{17}$

Answer 1

分析 證明△DCF≌△BAE（SAS），得出DF=BE，∠DFC=∠BEA，得出∠DFE=∠BEF，證出DF∥BE，與AE=EF=FC，得出△BCE的面積=$\frac{1}{3}$×8=$\frac{8}{3}$，延長BE交AD于G，延長DF交BC于H，作FM⊥BE于M，CN⊥BE于N，F(xiàn)M∥CN由平行線得出AG=DG=1，BH=CH=1，由勾股定理求出BG=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{17}$，得出BE=$\frac{2}{3}$BG=$\frac{2\sqrt{17}}{3}$，由三角形面積求出CN=$\frac{8\sqrt{17}}{17}$，由三角形中位線定理得出FM=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$即可．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠ABC=90°，矩形ABCD的面積=4×2=8，
∴∠DCF=∠BAE，
在△DCF和△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=AB}&{\;}\\{∠DCF=∠BAE}&{\;}\\{CF=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF=BE，∠DFC=∠BEA，
∴∠DFE=∠BEF，
∴DF∥BE，
∵AE=EF=FC，
∴△BCE的面積=$\frac{1}{3}$×8=$\frac{8}{3}$，
延長BE交AD于G，延長DF交BC于H，作FM⊥BE于M，CN⊥BE于N，則FM∥CN，
∵AE=EF=FC，
∴AG=DG=1，BH=CH=1，
∴BG=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$BG=$\frac{2\sqrt{17}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$BE•CN=$\frac{8}{3}$，
∴CN=$\frac{8\sqrt{17}}{17}$，
∵FM∥CN，EF=FC，
∴FM=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
故選：D．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，求出BG是解決問題的關鍵．