Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑．半徑OD垂直弦AC于點E．F是BA延長線上一點，∠CDB=∠BFD．
（1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理以及平行線的判定得出∠FDO=90°，進(jìn)而得出答案；
（2）利用垂徑定理得出AE的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出FD的長．

解答 解：（1）DF與⊙O相切．  
∵∠CDB=∠CAB，
又∵∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD．
∴AC∥DF．  
∵半徑OD垂直于弦AC于點E，
∴OD⊥DF．
∴DF與⊙O相切．　　
（2）∵半徑OD垂直于弦AC于點E，AC=8，
∴$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$．
∵AB是⊙O的直徑，
∴$OA=OD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$．
在Rt△AEO中，$OE=\sqrt{O{A^2}-A{E^2}}=\sqrt{{5^2}-{4^2}}=3$．  
∵AC∥DF，
∴△OAE∽△OFD．
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{AE}{DF}$．
∴$\frac{3}{5}=\frac{4}{DF}$．
∴$DF=\frac{20}{3}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定等知識，得出△OAE∽△OFD是解題關(guān)鍵．