Question

14．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，交⊙O的切線BE于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若DF=3，DE=2．
①求$\frac{BE}{AD}$值；
②求∠FAB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，連接OD．根據(jù)切線的判定定理，只需證DF⊥OD即可；
（2）①連接BD．根據(jù)BE、DF兩切線的性質(zhì)證明△BDE∽△ABE；又由角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的兩個底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得$\frac{BE}{AD}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{2}{3}$；②連接OC，交AD于G，由①，設(shè)BE=2x，則AD=3x，由于△BDE∽△ABE，得到比例式求得AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：如圖，連結(jié)OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAF=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴AF∥OD，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線，

（2）解：①連接BD，
∵直徑AB，
∴∠ADB=90°，
∵圓O與BE相切，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，
∴∠DAB=∠DBE，
∴∠DBE=∠FAD，
∵∠BDE=∠AFD=90°，
∴△BDE∽△AFD，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{2}{3}$；
②連接OC，交AD于G，
由①，設(shè)BE=2x，則AD=3x，
∵△BDE∽△ABE，∴$\frac{BE}{AE}=\frac{DE}{BE}$，∴$\frac{2x}{3x+2}=\frac{2}{2x}$，
解得：x₁=2，x₂=-$\frac{1}{2}$（不合題意，舍去），
∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，
∴sin∠EAB=$\frac{1}{2}$，
∴∠EAB=30°，
∴∠FAB=60°．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合解答．