Question

5．如圖，△ABC中，∠ACB=60°，點(diǎn)D在射線BC上，CN平分∠ACD，點(diǎn)F為CN上任意一點(diǎn)，連接AF，M為AF中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作EM⊥AF交BC于點(diǎn)E，連接AE、FE，探究∠EAC與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AC1至點(diǎn)G，使CG=CF，連接EG；先由SAS證明△ECG≌△ECF，得出∠G=∠EFC，EG=EF，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=EF，證出AE=EG，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EAC=∠G，即可得出結(jié)論．

解答 解：∠EAC=∠EFC；理由如下：
延長(zhǎng)AC1至點(diǎn)G，使CG=CF，連接EG，如圖所示：
∵∠ACB=60°，
∴∠ECG=∠ACD=120°，
∵CN平分∠ACD，
∴∠FCD=60°，
∴∠ECF=120°，
∴∠ECG=∠ECF，
在△ECG和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=CF}&{\;}\\{∠ECG=∠ECF}&{\;}\\{EC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△ECF（SAS），∠G=∠EFC，EG=EF，
∵M(jìn)為AF中點(diǎn)，EM⊥AF，
∴EM垂直平分AF，
∴AE=EF，
∴AE=EG，
∴∠EAC=∠G，
∴∠EAC=∠EFC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．