Question

18．如圖，在△ABC 中，∠C=90°
（1）利用尺規(guī)作∠B 的角平分線交AC于D，以BD為直徑作⊙O交AB于E（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）綜合應(yīng)用：在（1）的條件下，連接DE
①求證：CD=DE；
②若sinA=$\frac{3}{5}$，AC=6，求AD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）有BD為⊙O的直徑；得到∠BED=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示，

（2）∵BD為⊙O的直徑；
∴∠BED=90°，
又∵∠C=90°；
∴DE⊥AB，DC⊥BC；
又∵BD平分∠ABC；
∴DE=DC；

（3）在Rt△ADE中，sinA=$\frac{DE}{AD}$
∵sinA=$\frac{3}{5}$
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{3}{5}$
設(shè)DC=DE=3x，AD=5x
∵AC=AD+DC
∴3x+5x=6x=$\frac{3}{4}$
AD=5x=5×$\frac{3}{4}$=$\frac{15}{4}$

點(diǎn)評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．