Question

20．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AC于點E，DM=DN，若△AMD的面積為100，△AND的面積為80；則△DEN的面積為10．

Answer 1

分析 由AD是∠BAC的平分線，得到∠DAP=∠DAN，推出△APD≌△AND，得到PD=ND，等量代換即可得到結(jié)論，過D作DG⊥AB于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DG，證得△DEN≌△DPG，由已知條件得到△DPM的面積等于20，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到PG=$\frac{1}{2}$PM，于是得到結(jié)果．

解答 解：在AM上截取AP=AN，連接DP，過D作DG⊥AB于G，

∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAP=∠DAN，
在△APD與△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AN}\\{∠PAD=∠NAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AND，
∴PD=ND，
∵DM=DN，
∴DP=DM，
∵DG⊥AB，DE⊥AC，AD是∠BAC的平分線，DH⊥AC，
∴DH=DG，
在Rt△DEN與Rt△DPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=DP}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEN≌Rt△DPG
∵△AMD的面積等于100，△AND的面積等于80，
∴△DPM的面積等于20，
∵DP=DM，DG⊥PM，
∴PG=$\frac{1}{2}$PM，
∴△DEN的面積=△DPG的面積=$\frac{1}{2}$△DPM的面積=10，
故答案為：10．

點評 本題考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．