Question

4．已知關(guān)于x的方程mx²-（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；
（2）已知方程有兩個不相等的實數(shù)根α，β，滿足$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）m≠0時是一元二次方程，求得方程根的判別式，證明其總大于或等于0即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系分別求得αβ和α+β，代入可得到關(guān)于m的方程，求其即可．

解答 （1）證明：∵方程mx²-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，
∴△=（m+2）²-8m=m²+4m+4-8m=m²-4m+4=（m-2）²≥0，
∴方程總有兩個實數(shù)根；

（2）解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根α，β，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=$\frac{m+2}{m}$，αβ=$\frac{2}{m}$，
∵$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=1，
∴$\frac{\frac{m+2}{m}}{\frac{2}{m}}$=$\frac{m+2}{2}$=1，
解得m=0，
∵m≠0，
∴m無解．

點評 本題主要考查一元二次方程根的判別及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根的判別式與根的情況是解題的關(guān)鍵．