Question

11．已知：如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C、A（-1，1），B（-3，1）動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿著x軸負(fù)方向以每秒2個(gè)單位長度的速度移動，過點(diǎn)P作PQ垂直與直線OA，垂足為點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P移動的時(shí)間t秒（0＜t＜2）
（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式，并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P、點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如果將△OPQ繞著點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或頂點(diǎn)Q在拋物線上？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求出a、b的值，即可得解，再把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)P的速度求出OP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出∠AOC=45°，然后判斷出△POQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)O、Q的坐標(biāo)，然后分別代入拋物線解析式，求解即可；

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），
把點(diǎn)A（-1，1），B（-3，1）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b=1}\\{9a-3b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x，
∵y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x=-$\frac{1}{3}$（x+2）²+$\frac{4}{3}$，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，$\frac{4}{3}$）；

（2）∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)速度是每秒2個(gè)單位長度，
∴OP=2t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2t，0），
∵A（-1，1），
∴∠AOC=45°，
∴點(diǎn)Q到x軸、y軸的距離都是$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$×（-2t）=-t，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，-t）；

（3）∵△OPQ繞著點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∴旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)O、Q的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2t，-2t），（3t，-t），
若頂點(diǎn)O在拋物線上，則-$\frac{1}{3}$×（2t）²-$\frac{4}{3}$×（2t）=-2t，
解得t=$\frac{1}{2}$（t=0舍去），
∴t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，點(diǎn)O（-1，1）在拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x，
若頂點(diǎn)Q在拋物線上，則-$\frac{1}{3}$×（3t）²-$\frac{4}{3}$×（3t）=-t，
解得t=-1（t=0舍去），
∴t=-1時(shí)，點(diǎn)Q（-3，1）在拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x上．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)�圖形和點(diǎn)的坐標(biāo)有機(jī)的結(jié)合起來，難度較大．