Question

3．如圖1，我們定義：在四邊形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，則把四邊形ABCD叫做互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形．
（1）如圖2，在等腰△ABE中，AE=BE，四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，求證：∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB．
（2）如圖3，在非等腰△ABE中，若四邊形ABCD仍是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，試問(wèn)∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠EAB=∠EBA，根據(jù)四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，可得AD=BC，根據(jù)SAS可證△ABD≌△BAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠BAC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）仍然成立；理由如下：如圖所示：過(guò)點(diǎn)A、B分別作BD的延長(zhǎng)線與AC的垂線，垂足分別為G、F，證明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根據(jù)∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，進(jìn)而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC．因?yàn)椤螧HC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB．

解答 解：（1）∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，
∴AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠DAB=∠CBA}&{\;}\\{AB=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ADB=∠BCA，
又∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA=$\frac{180°-∠AEB}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠AEB，
∴∠ABD=90°-∠EAB=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠AEB）=$\frac{1}{2}$∠AEB，
同理：∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB，
∴∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB；
（2）仍然成立；
理由如下：如圖③所示：過(guò)點(diǎn)A、B分別作BD的延長(zhǎng)線與AC的垂線，垂足分別為G、F，

∵四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，
∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，
又∠ADB+ADG=180°，
∴∠BCA=∠ADC，
又∵AG⊥BD，BF⊥AC，
∴∠AGD=∠BFC=90°，
在△AGD和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠BFC}\\{∠BCA=∠ADC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$
∴△AGD≌△BFC，
∴AG=BF，
在△ABG和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BA}\\{AG=BF}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△BAF，
∴∠ABD=∠BAC，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠EDB+∠ECA=180°，
∴∠AEB+∠DHC=180°，
∵∠DHC+∠BHC=180°，
∴∠AEB=∠BHC．
∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，
∴∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△ABD≌△BAC．