Question

6．如圖，在△ABC，∠BAC=100°，延長(zhǎng)BC到D，∠ABC與∠ACD的角平分線(xiàn)相交于A₁，若∠A₁BC與∠A₁CD的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)A₂，以此類(lèi)推，∠A_n-1BC與∠A_n-1CD的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)A_n，則∠A_n=$\frac{100°}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 由∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A₁B、A₁C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，于是有∠BAC=2∠A₁，同理可得∠A₁=2∠A₂，即∠A=2²∠A₂，因此找出規(guī)律．

解答 解：∵A₁B、A₁C分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠A₁=100°，
∴∠A₁=50°，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
即∠BAC=2²∠A₂=100°，
∴∠A₂=25°，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，即∠A_n=$\frac{∠A}{{2}^{n}}$=$\frac{100°}{{2}^{n}}$．
故答案為：$\frac{100°}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．也考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線(xiàn)性質(zhì)，難度適中．