Question

15．拋物線y=ax²+bx+c的頂點為D（-1，2），與x軸的一個交點A在點（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①b²-4ac＜0；②a+b+c＜0；③c-a=2；④方程ax²+bx+c-2=0有兩個相等的實數(shù)根．其中正確的結(jié)論有②③④（填序號）．

Answer 1

分析 由拋物線與x軸有兩個交點得到b²-4ac＞0；由拋物線頂點坐標(biāo)得到拋物線的對稱軸為直線x=-1，則根據(jù)拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，所以當(dāng)x=1時，y＜0，則a+b+c＜0；由拋物線的頂點為D（-1，2）得a-b+c=2，由拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1得b=2a，所以c-a=2；根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題，當(dāng)x=-1時，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=-1時，ax²+bx+c=2，所以說方程ax²+bx+c-2=0有兩個相等的實數(shù)根．

解答 解：∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴b²-4ac＞0，所以①錯誤；
∵頂點為D（-1，2），
∴拋物線的對稱軸為直線x=-1，
∵拋物線與x軸的一個交點A在點（-3，0）和（-2，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，
∴當(dāng)x=1時，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正確；
∵拋物線的頂點為D（-1，2），
∴a-b+c=2，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正確；
∵當(dāng)x=-1時，二次函數(shù)有最大值為2，
即只有x=-1時，ax²+bx+c=2，
∴方程ax²+bx+c-2=0有兩個相等的實數(shù)根，所以④正確．
故答案為②③④．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．