Question

17．如圖1，已知⊙O的半徑為1，∠PAQ的正切值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，AQ是⊙O的切線，將⊙O從點A開始沿射線AQ的方向滾動，切點為A'．
（1）sin∠PAQ=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，cos∠PAQ=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$；
（2）①如圖1，當⊙O在初始位置時，圓心O到射線AP的距離為$\frac{2\sqrt{39}}{13}$；
②如圖2，當⊙O的圓心在射線AP上時，AA'=2$\sqrt{3}$．
（3）在⊙O的滾動過程中，設(shè)A與A'之間的距離為m，圓心O到射線AP的距離為n，求n與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并探究當m分別在何范圍時，⊙O與射線AP相交、相切、相離．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得sin∠PAQ、cos∠PAQ的值；
（2）①過點O作OB⊥AP，垂足為B．依據(jù)同角的余角相等可證明∠AOB=∠QAP，然后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得OB的長；②連接OA′．由切線的性質(zhì)可知∠OA′A=90°，接下來，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得AA′的長；
（3）當0＜m＜2$\sqrt{3}$時，如圖3所示：連接OA′，過點O作OH⊥AP，垂足為H．在Rt△OGH中，在Rt△AA′G中，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得到OG=$\frac{\sqrt{39}}{6}$n、GA′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m，然后依據(jù)OG+GA′=1可得到n與m之間的函數(shù)關(guān)系式；當m＞2$\sqrt{3}$時，如圖2所示，過點O作OH⊥AP，垂足為H，連接A′O并延長交AP與點G．依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知OG=$\frac{\sqrt{39}}{6}$n，GA′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m，由GA′-OG=1可得到n與m之間的函數(shù)關(guān)系式；接下來，依據(jù)d和r的關(guān)系可求得當直線AP與⊙O相切，相交、相離時m的取值范圍．

解答 解：（1）∵∠PAQ的正切值為 $\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴sin∠PAQ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，cos∠QAQ=$\frac{6}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{13}}{13}$，$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
（2）①如圖1所示：過點O作OB⊥AP，垂足為B．

∵AQ是⊙O的切線，
∴OA⊥AQ．
∴∠OAP+∠PAQ=90°．
∵OB⊥AP，
∴∠OAP+∠AOB=90°．
∴∠AOB=∠PAQ．
∴$\frac{OB}{OA}$=cos∠PAQ=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
∵OA=1，
∴OB=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
∴圓心O到射線AP的距離為 $\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
②如圖2所示：連接OA′．

∵⊙O與AQ相切，
∴OA′⊥AQ．
∴∠OA′A=90°．
∴$\frac{OA′}{AA′}$=tan∠A．
∴AA′=2 $\sqrt{3}$．
故答案為：2 $\sqrt{3}$．

（3）當0≤x≤2 $\sqrt{3}$時，如圖3所示：連接OA′，過點O作OH⊥AP，垂足為H．


∵在Rt△OGH中，cos∠O=$\frac{OH}{OG}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$，
∴OG=$\frac{\sqrt{39}}{6}$n．
∵在Rt△AA′G中，tan∠A=$\frac{GA′}{AA′}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴GA′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m，．
∵OG+GA′=1，
∴$\frac{\sqrt{39}}{6}$n+$\frac{\sqrt{3}}{6}$m=1，．
∴n=-$\frac{\sqrt{13}}{13}$m+$\frac{\sqrt{39}}{39}$．
②當x＞2 $\sqrt{3}$時，如圖2所示，過點O作OH⊥AP，垂足為H，連接A′O并延長交AP與點G．

∵∠HGO=∠AGA′，∠GA′A=∠OHD=90°，
∴∠HOG=∠PAQ．
∴OG=$\frac{\sqrt{39}}{6}$n，GA′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m．
由GA′-OG=1得，n=$\frac{\sqrt{13}}{13}$m-$\frac{\sqrt{39}}{39}$．
綜上所述，n與m的函數(shù)關(guān)系式為n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{13}}{13}m+\frac{\sqrt{39}}{39}}&{（0≤m≤2\sqrt{3}）}\\{\frac{\sqrt{13}}{13}m-\frac{\sqrt{39}}{39}}&{（m＞2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．
∵當n=1時，⊙O與AP相切，此時$\frac{\sqrt{13}}{13}$m-$\frac{\sqrt{39}}{39}$=1，解得m=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{13}$，
∴當0≤m＜2$\sqrt{3}$+$\sqrt{13}$時，⊙O與AN相交，
當m=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{13}$時，⊙O與AN相切；
當m＞2$\sqrt{3}$+$\sqrt{13}$時，⊙O與AN相離．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了切線的性質(zhì)、直線和圓的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)的定義，依據(jù)OA′=1列出n與m的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．