Question

19．如圖，矩形AOCB的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（k＞0$，x＞0）的圖象上，且AB=3，BC=8．若動(dòng)點(diǎn)E從A開始沿AB向B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從B開始沿BC向C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）當(dāng)t=1時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)D，使△DEF的周長(zhǎng)最��？若存在，請(qǐng)求出△DEF的周長(zhǎng)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在雙曲線上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B、E、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB與BC的長(zhǎng)，且B為第一象限角，確定出B的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，在y軸上存在點(diǎn)D，使△DEF的周長(zhǎng)最小，理由為：作出E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F，與y軸交于點(diǎn)D，連接DE，EF，此時(shí)△DEF周長(zhǎng)最小，求出周長(zhǎng)最小值即可；
（3）存在，若四變形BEMF為平行四邊形，則有三種可能，已知E（t，8），F(xiàn)（3，8-2t），0＜t≤3．
①BE∥FM，此時(shí)M在F右側(cè)，$M（{\frac{24}{8-2t}，8-2t}）$，結(jié)合BE=FM，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；
②BF∥EM，此時(shí)M在E正上方，$Mt（{t，\frac{24}{t}}）$，結(jié)合ME=BF，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；
③EF∥BM，易知點(diǎn)M一定不在反比例函數(shù)上．

解答 解：（1）由題可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，8），且點(diǎn)B在$y=\frac{k}{x}$上．
∴k=3×8=24，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：$y=\frac{24}{x}$．

（2）t=1時(shí)，E（1，8），F(xiàn)（3，6），則$EF=2\sqrt{2}$，
取E關(guān)于y軸的對(duì)稱E′（-1，8），
連接E′F，${E^′}F=2\sqrt{5}$，${C_{△DEF}}=DE+DF+EF=2\sqrt{2}+D{E^′}+DF≥2G+{E^′}F$，
∴${C_{△DEFmin}}=2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$，
此時(shí)點(diǎn)D為E′F與y軸交點(diǎn)，
∵E′（-1，8），F(xiàn)（3，6），
設(shè)E′F：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}-k+b=8\\ 3k+b=6\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}\right.$，
∴${E^′}F：y=\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}$，
∴此時(shí)$D（{0，\frac{15}{2}}）$，
即：y軸上存在點(diǎn)$D（{0，\frac{15}{2}}）$，使△DEF的圖長(zhǎng)數(shù)小，且最小值為$2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$．

（3）存在，若四變形BEMF為平行四邊形，則有三種可能，已知E（t，8），F(xiàn)（3，8-2t），0＜t≤3．
①BE∥FM，此時(shí)M在F右側(cè)，$M（{\frac{24}{8-2t}，8-2t}）$，
又∵BE=FM，
∴$3-t=\frac{24}{8-2t}-3$，t²-10t+12=0，
解得${t_1}=5-\sqrt{13}$，${t_2}=5+\sqrt{13}$（舍）．
②BF∥EM，此時(shí)M在E正上方，$Mt（{t，\frac{24}{t}}）$，
∵M(jìn)E=BF，
∴$\frac{24}{t}-8=2t$，t²+4t-12=0，
解得t₁=2，t₂=-6（舍）．
③EF∥BM，易知點(diǎn)M一定不在反比例函數(shù)上，
故綜上：t=2或$5-\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．