Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C在y的正半軸上，點B的坐標是（4，2），拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，經過A，C兩點，與x軸的另一個交點是點D，連接BD．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是拋物線對稱軸上的一點，以M，B，D為頂點的三角形的面積是6，求點M的坐標．
（3）若點Q是y軸上一點，且△DBQ為等腰三角形，直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）求出點A、C的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）如答圖1所示，關鍵是求出MG的長度，利用面積公式解決；注意，符合條件的點M有2個，不要漏解；
（3）分別以BD為底邊、BD為腰B為頂點，BD為腰D為頂點三種情況分類討論確定點Q的坐標即可．

解答 解：（1）∵矩形ABCD，B（4，2），
∴A（4，0），C（0，2）．
∵點A（4，0），C（0，2）在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×16+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：b=-$\frac{5}{2}$，c=2．
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2．

（2）如答圖1所示，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{8}$，
∴拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{5}{2}$．
如答圖1所示，設對稱軸與BD交于點G，與x軸交于點H，則H（$\frac{5}{2}$，0）．

令y=0，即$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2，解得x=1或x=4．
∴D（1，0），
∴DH=1.5，AH=1.5，AD=3．
∵tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴GH=DH•tan∠ADB=$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$=1，
∴G（$\frac{3}{2}$，1）．
∵S_△MBD=6，即S_△MDG+S_△MBG=6，
∴$\frac{1}{2}$MG•DH+$\frac{1}{2}$MG•AH=6，
即：$\frac{1}{2}$MG×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$MG×$\frac{3}{2}$=6，
解得：MG=2．
∴點M的坐標為（$\frac{5}{2}$，3）或（$\frac{5}{2}$，-1）；

（3）當以BD為底邊長時，
∵B（4，2），D（1，0），
∴設BD的解析式為y=kx+b，
故$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{2}{3}$，b=-$\frac{2}{3}$，
∴直線BD的解析式為y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
∵Q₁E垂直平分BD，E（$\frac{5}{2}$，1），
∴直線Q₁E的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{19}{4}$，
∴Q₁（0，$\frac{19}{4}$）；
當以BD為腰且以B為頂點時，
∵BD=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$＜BC，
∴此時不存在點Q；

當以BD為腰且以D為頂點時，
此時OQ=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴Q₂（0，2$\sqrt{3}$），Q₃（0，-2$\sqrt{3}$），
∴存在Q₁（0，$\frac{19}{4}$）、Q₂（0，2$\sqrt{3}$），Q₃（0，-2$\sqrt{3}$）使得△DBQ為等腰三角形．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、圖形面積、解直角三角形、勾股定理等知識點．分類討論的數(shù)學思想是本題考查的重點，在第（2）（3）問中均有所體現(xiàn)，解題時注意全面分析、認真計算．