Question

11．已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0）、E（-2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，2，），連結(jié)AB．過點(diǎn)A作直線AK⊥AB，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒$\sqrt{5}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AK運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)P作PC⊥x軸，垂足為C，把△ACP沿AP對(duì)折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)D處．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在△ABP的內(nèi)部時(shí)，△ABP與△ADP不重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；
（3）是否存在這樣的時(shí)刻，使動(dòng)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最��？若存在請(qǐng)求出這個(gè)最小距離；若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；
（2）首先求出△AOB∽△PCA，進(jìn)而表示出AC，PC的長(zhǎng)，即可利用S=S_△ABP-S_△ADP，得出即可；
（3）利用相似三角形的判定方法得出△ACG∽△DCH∽△BAO，進(jìn)而求出AD的解析式，再利用直角三角形面積求法得出答案．

解答 解：（1）將A（4，0）、E（-2，0）、B（0，2），代入y=ax²+bx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；

（2）由題意可得：AP=$\sqrt{5}$t，
∵∠PAB=90°，
∴∠BAO+∠PAC=90°，
∵∠CPA+∠PAC=90°，
∴∠CPA=∠OAB，
∵∠BOA=∠PCA，
∴△AOB∽△PCA，
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{BO}{AC}$=$\frac{AO}{PC}$，
∵BO=2，AO=4，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}t}$=$\frac{2}{AC}$
解得：AC=t，
則PC=2t，
S=S_△ABP-S_△ADP=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$t-$\frac{1}{2}$×2t×t=-t²+5t．
∴t的取值范圍是0＜t＜4；

（3）連結(jié)CD，交AP于點(diǎn)G，過點(diǎn)作D H⊥x軸，垂足為H，
∵把△ACP沿AP對(duì)折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，
∴AP⊥DC，
∴∠AGC=∠ACP=90°，
∵∠CAG=∠PAC，
∴△PAC∽△CAG，
同理可得：△ACG∽△DCH，
∴可得△ACG∽△DCH∽△BAO，
則OB：OA：AB=1：2：$\sqrt{5}$，
因?yàn)椤螪AP=∠CAP，點(diǎn)D始終在過點(diǎn)A的一條定直HE線上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)這條定直線與y軸交于點(diǎn)F，
當(dāng)AC=t=1時(shí)，設(shè)AG=x，則GC=2x，
故x²+（2x）²=1，
解得：x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DC=2CG=2×$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴DH=$\frac{4}{5}$，HC=$\frac{8}{5}$，
∴OH=5-$\frac{8}{5}$=$\frac{17}{5}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{17}{5}$，$\frac{4}{5}$），
設(shè)AD的解析式為：y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{4k+d=0}\\{\frac{17}{5}k+d=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{d=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$．
∴直線AD的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，
當(dāng)x=0，則y=$\frac{16}{3}$，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，$\frac{16}{3}$），
AF=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
此時(shí)RT△FAO斜邊上高，即為OD的最小距離：4×$\frac{16}{3}$÷$\frac{20}{3}$=$\frac{48}{15}$=$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出F點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．