Question

5．如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，連接對角線AC，以AC為邊作第二個ACC₁D₁，使∠D₁AC=60°；連接AC₁，再以AC₁為邊作第三個菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°；…，按此規(guī)律所作的第2017個菱形的邊長為（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶
• B． （$\sqrt{3}$）²⁰¹⁶
• C． 2²⁰¹⁷
• D． （$\sqrt{3}$）²⁰¹⁷

Answer 1

分析 根據(jù)已知和菱形的性質(zhì)可分別求得AC，AC₁，AC₂的長，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律根據(jù)規(guī)律不難求得第n個菱形的邊長．

解答 解：連接DB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$，
同理可得AC₁=$\sqrt{3}$AC=（$\sqrt{3}$）²，AC₂=$\sqrt{3}$AC₁=3$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$）³，
按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長為（ $\sqrt{3}$）^n-1，
則第2017個菱形的邊長為（ $\sqrt{3}$）²⁰¹⁶，
故選：B．

點評 此題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及學生探索規(guī)律的能力．