Question

6．如圖，雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過Rt△OMN斜邊上的點(diǎn)A，與直角邊MN相交于點(diǎn)B，若OA=2AN，且△OAB的面積恰是方程（2-$\sqrt{3}$）x²-4（$\sqrt{3}$-1）x-10=0的根，則k的值是12（$\sqrt{3}$+1）．

Answer 1

分析 先求出x的值，再作AC⊥x軸于點(diǎn)C，由OA=2AN，可設(shè)OC=2a，則CM=a，OM=3a，再根據(jù)S_△OAB=S_△AOC+S_梯形ACMB-S_△OBM即可得出結(jié)論．

解答 解：整理方程，得x²-4（$\sqrt{3}$+1）x-5（$\sqrt{3}$+1）²=0，
因式分解法解得x₁=5（$\sqrt{3}$+1），x₂=-（$\sqrt{3}$+1）舍去；
作AC⊥x軸于點(diǎn)C，
∵OA=2AN，
∴設(shè)OC=2a，則CM=a，OM=3a，
∴AC=$\frac{k}{2a}$，BM=$\frac{k}{3a}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OC×AC+$\frac{1}{2}$[AC+BM]×CM-$\frac{1}{2}$OM×BM=5（$\sqrt{3}$+1），即$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{k}{2a}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{k}{2a}$+$\frac{k}{3a}$）•a=5（$\sqrt{3}$+1），
解得，k=12（$\sqrt{3}$+1）．
故答案為：12（$\sqrt{3}$+1）．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．