Question

8．智能手機如果安裝了一款測量軟件后，就可以測量物高、寬度和面積等．如圖，打開軟件后將手機攝像頭的屏幕準星對準腳部按鍵，再對準頭部按鍵，即可測量出人體的高度．其數(shù)學(xué)原理如圖②所示，測量者AB與被測量者CD都垂直于地面BC．

（1）若手機顯示AC=1m，AD=1.8m，∠CAD=60°，求此時CD的高．（結(jié)果保留根號）
（2）對于一般情況，設(shè)AC=a，AD=b，∠CAD=α，試直接寫出手機設(shè)定的測量高度的公式：CD=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosα}$．
（提示：用含a、b、α 的式子來表示CD；sin²α+cos²α=1）

Answer 1

分析 （1）作CH⊥AD于點H．在Rt△ACH中，根據(jù)三角函數(shù)可求AH=$\frac{1}{2}$，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．從而得到HD=1.3．再根據(jù)勾股定理得到CD的高；
（2）同（1）可得，AH=acosα，CH=asinα．從而得到HD=b-acosα．再根據(jù)勾股定理得到CD的高．

解答 解：（1）作CH⊥AD于點H．

在Rt△ACH中，∵AC=1，∠CAH=60°，
∴AH=$\frac{1}{2}$，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵AD=1.8，
∴HD=1.3．
∴CD=$\sqrt{C{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{2.44}$=$\frac{\sqrt{61}}{5}$（m）；

（2）同上可得，AH=acosα，CH=asinα．
∵AD=b，
∴HD=b-acosα．
∴CD=$\sqrt{C{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosα}$，
故答案為：$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosα}$．

點評 本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，本題關(guān)鍵是熟悉三角函數(shù)、勾股定理的知識．