Question

14．實數(shù)m，n分別滿足19m²+99m+1=0，19+99n+n²=0．求代數(shù)式$\frac{mn+4m+1}{n}$的值．

Answer 1

分析 把等式19+99n+n²=0兩邊除以n²得到19•（$\frac{1}{n}$）²+99•$\frac{1}{n}$+1=0，加上19m²+99m+1=0，則m和$\frac{1}{n}$可看作方程19x²+99x+1=0的兩個解，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到m+$\frac{1}{n}$=-$\frac{99}{19}$，m•$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{19}$，再把原式變形為m+4•m•$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$，然后利用整體代入的方法計算．

解答 解：∵19+99n+n²=0，
∴19•（$\frac{1}{n}$）²+99•$\frac{1}{n}$+1=0，
而19m²+99m+1=0，
∴m和$\frac{1}{n}$可看作方程19x²+99x+1=0的兩個解，
∴m+$\frac{1}{n}$=-$\frac{99}{19}$，m•$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{19}$，
∴原式=m+4•m•$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$
=-$\frac{99}{19}$+$\frac{4}{19}$
=-5．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．