Question

1．如圖，已知一次函數(shù)y₁=$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是A、B，反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$（k是常數(shù)，k≠0）的圖象上一點(diǎn)P滿足：①PA⊥x軸；②cos∠AOP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求反比例函數(shù)y₂的解析式；
（2）延長(zhǎng)PO交反比例函數(shù)的另一支于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QC⊥x軸，交x軸于點(diǎn)C，連接AQ、CP．求證：四邊形APCQ是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）由一次函數(shù)y₁=$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是A、B，可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，又由反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$（k是常數(shù)，k≠0）的圖象上一點(diǎn)P滿足：①PA⊥x軸；②cos∠AOP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可求得AP與OP的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得比例函數(shù)y₂的解析式；
（2）由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性可得：Q的坐標(biāo)為（2，1），然后由QC⊥x軸，PA⊥x軸，證得AP=QC=1，QC∥AP，即可判定四邊形APCQ是平行四邊形．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y₁=$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是A、B，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1，則點(diǎn)B（0，1），
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{2}$x+1=0，解得：x=-2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），
∵PA⊥x軸，cos∠AOP=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{2}{OP}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得：OP=$\sqrt{5}$，
∴AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=1，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：P（-2，-1），
∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$（k是常數(shù)，k≠0）的圖象上一點(diǎn)，
∴-1=$\frac{k}{-2}$，
解得：k=2，
∴反比例函數(shù)y₂的解析式為：y₂=$\frac{2}{x}$；

（2）根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性可得：Q的坐標(biāo)為（2，1），
∵QC⊥x軸，PA⊥x軸，
∴AP=QC=1，QC∥AP，
∴四邊形APCQ是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義、勾股定理、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對(duì)稱性以及平行四邊形的判定．注意求得點(diǎn)P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．