Question

9．如圖，直線y=ax+1（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$在第四象限的交點(diǎn)為C．若點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且△BOC的面積為$\sqrt{3}$．
（1）求a、k的值；
（2）問(wèn)：在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的解析式先求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積求得C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得a和k．
（2）存在，分兩種情況考慮，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于點(diǎn)P₁，P₂；以A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于P₃、P₄點(diǎn)，分別求出坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵直線y=ax+1（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴B（0，1），
∴OB=1，
∵△BOC的面積為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$OB•x_C=$\sqrt{3}$，
∴x_C=2$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，
∴|y_C|=OB=1，
∴C（2$\sqrt{3}$，-1），
∴-1=2$\sqrt{3}$a+1，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
k=-2$\sqrt{3}$．
（2）存在，分兩種情況考慮，
①以B為圓心BC長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于點(diǎn)P₁，P₂，
∵B（0，1），C（2$\sqrt{3}$，-1）
∴BC=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（{1+1）}^{2}}$=4，
∴BP=4，
∴OP₁=OP₂=$\sqrt{B{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴點(diǎn)P₁（-$\sqrt{15}$，0），P₂（$\sqrt{15}$，0）；
以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于P₃、P₄，
此時(shí)P₃（-$\sqrt{15}$+2$\sqrt{3}$，0），P₄（$\sqrt{15}$+2$\sqrt{3}$，0）；
綜上，滿足題意的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\sqrt{15}$，0）或（$\sqrt{15}$，0）或（-$\sqrt{15}$+2$\sqrt{3}$，0）或（$\sqrt{15}$+2$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)求法，等腰三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．