Question

10．如圖，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與正比例函數(shù)y=x（x≥0）的圖象，點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)A′（4，b）與點(diǎn)B′均在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在直線y=x上，四邊形AA′B′B是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m，試用m的式子表示出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，并求出m的值．

Answer 1

分析 先根據(jù)點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)的圖象上求出反比例函數(shù)的解析式，再由點(diǎn)A′（4，b）也在此函數(shù)的圖象上求出b的值，根據(jù)點(diǎn)B在直線y=x上可知B（m，m），設(shè)B′（x，y），由四邊形AA′B′B是平行四邊形可知線段AB′，A′B的中點(diǎn)相交于一點(diǎn)，故可用m表示出x，y的值，再代入反比例函數(shù)的解析式即可得出m的值．

解答 解：∵點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)A′（4，b）與點(diǎn)B′均在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$，
∴b=$\frac{4}{4}$=1，
∴A′（4，1）．
∵點(diǎn)B在直線y=x上，四邊形AA′B′B是平行四邊形，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m，
∴B（m，m）．
設(shè)B′（x，y），
∴$\frac{x+1}{2}$=$\frac{m+4}{2}$，$\frac{4+y}{2}$=$\frac{m+1}{2}$，解得x=m+3，y=m-3，
∴B′（m+3，m-3）．
∵點(diǎn)B′在反比例函數(shù)的圖象上，
∴m-3=$\frac{4}{m+3}$，解得m=$\sqrt{13}$或m=-$\sqrt{13}$（舍去）．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，難度適中．