Question

11．在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG（如圖①），求證：△AEG≌△AEF；
（2）若直線EF與AB，AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M，N（如圖②），求證：EF²=ME²+NF²；
（3）將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），請(qǐng)你直接寫出線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可證△AEG≌△AEF；
（2）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連結(jié)GM．由（1）知△AEG≌△AEF，則EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=$\sqrt{2}$DF，然后證明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG²=ME²+MG²，等量代換即可證明EF²=ME²+NF²；
（3）延長(zhǎng)EF交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連結(jié)HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，結(jié)合勾股定理以及相等線段可得（GH+BE）²+（BE-GH）²=EF²，所以2（DF²+BE²）=EF²．

解答 （1）證明：∵△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE與△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE=45°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；

（2）證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a．
將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連結(jié)GM．
則△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF=$\sqrt{2}$DF，
∴a-BE=a-DF，
∴BE=DF，
∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，
∴EG²=ME²+MG²，
∵EG=EF，MG=$\sqrt{2}$BM=$\sqrt{2}$DF=NF，
∴EF²=ME²+NF²；

（3）解：EF²=2BE²+2DF²．
如圖所示，延長(zhǎng)EF交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，
將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連結(jié)HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，
則由勾股定理有（GH+BE）²+BG²=EH²，
即（GH+BE）²+（BM-GM）²=EH²
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）²+（BE-GH）²=EF²，
即2（DF²+BE²）=EF²

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，其中涉及到正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理．準(zhǔn)確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合及類比思想是解題的關(guān)鍵．