Question

17．如圖，在△ABC中，已知AC=5，BC=12，AB=13，D為邊AB的中點，DE⊥AB且與∠ACB的平分線交于點E，則DE的長為$\frac{13}{2}$．

Answer 1

分析 以點D為圓心，DA為半徑作圓交直線DE于點F，連接CF，AF，BF，首先利用勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，進而可得∠FCB=∠ECB，即E和F點重合，再由直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出DE的長．

解答 解：以點D為圓心，DA為半徑作圓交直線DE于點F，連接CF，AF，BF，

∵AB=13，BC=12，CA=5．
∴BC²+CA²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，
∵DE⊥AB，
∴∠DBE=90°
∴∠FCB=$\frac{1}{2}$∠FDB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴∠FCB=∠ECB，
∵AB為圓的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB是直角三角形，
∴DE=DF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{13}{2}$，
故答案為：$\frac{13}{2}$．

點評 本題考查了勾股定理的逆定理的運用、圓周角定理的運用以及直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半性質的運用，題目的設計巧妙、新穎，解題的關鍵是正確添加輔助線構造直角三角形．