Question

20．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，∠ABE=∠ECB，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）$\frac{A{B}^{2}}{C{E}^{2}}$=$\frac{AE}{BC}$；
（2）AD•DF=EF•CE．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC知∠BEA=∠CBE，結(jié)合∠ABE=∠ECB可證△ABE∽△ECB，得$\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{BC}$、$\frac{AB}{CE}$=$\frac{AE}{BE}$，相乘即可；
（2）由（1）知$\frac{BC}{CE}=\frac{BE}{AB}$，證△ABE∽△DFE知$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{DF}$，即可的$\frac{BC}{CE}$=$\frac{EF}{DF}$，由AD=BC可得答案．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA=∠CBE，
又∵∠ABE=∠ECB，
∴△ABE∽△ECB，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{BC}$、$\frac{AB}{CE}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AB}{CE}$•$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BE}{BC}$•$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AE}{BC}$，即$\frac{A{B}^{2}}{C{E}^{2}}$=$\frac{AE}{BC}$；

（2）∵△ABE∽△ECB，
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{BE}{AB}$，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DF，AD=BC，
∴△ABE∽△DFE，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{DF}$，
則$\frac{BC}{CE}$=$\frac{EF}{DF}$，即$\frac{AD}{CE}$=$\frac{EF}{DF}$，
∴AD•DF=EF•CE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)待求證的比例式找到所需求證的相似三角形是解題的關(guān)鍵．