Question

8．如圖，將OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐標系中，動點M、N以每秒1個單位的速度分別從點A、C同時出發(fā)，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．
（1）點B的坐標為（6，4）；用含t的式子表示點P的坐標為（t，$\frac{2}{3}$t）；
（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式（0＜t＜6），并求當t為何值時，S有最大值？
（3）試探究：在上述運動過程中，是否存在點T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC的$\frac{1}{3}$？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由OA=6，AB=4，易得點B的坐標為（6，4）；由圖可得，點P的橫坐標=CN=t，縱坐標=4-NP，NP的值可根據(jù)相似比求得；
（2）由（1）的結論易得△OMP的高為$\frac{2}{3}$t，而OM=6-AM=6-t，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得S與t的函數(shù)關系式，再由二次函數(shù)的最值求法，求得t為何值時，S有最大值；
（3）由（2）求得點M、N的坐標，從而求得直線ON的函數(shù)關系式；設點T的坐標為（0，b），可得直線MT的函數(shù)關系式，解由兩個關系式組成的方程組，可得點直線ON與MT的交點R的坐標；由已知易得S_△OCN=$\frac{1}{2}$×4×3=6，S_△ORT=$\frac{1}{3}$S_△OCN=2；然后分兩種情況考慮：①當點T在點O、C之間時，②當點T在點OC的延長線上，從而求得符合條件的點T的坐標．

解答 解：（1）延長NP交OA于H，如圖1所示：
∵矩形OABC，
∴BC∥OA，∠OCB=90°，
∵PN⊥BC，
∴NH∥OC，
∴四邊形CNHO是平行四邊形，
∴OH=CN，
∵OA=6，AB=4，
∴點B的坐標為（6，4）；
由圖可得，點P的橫坐標=0H=CN=t，縱坐標=4-NP，
∵NP⊥BC，
∴NP∥OC，
∴NP：OC=BN：CB，
即NP：4=（6-t）：6，
∴NP=4-$\frac{2}{3}$t，
∴點P的縱坐標=4-NP=$\frac{2}{3}$t，
則點P的坐標為（t，$\frac{2}{3}$t）；
故答案為：（6，4）；（t，$\frac{2}{3}$t）；

（2）∵S_△OMP=$\frac{1}{2}$×OM×$\frac{2}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{2}{3}$t=-$\frac{1}{3}$t²+2t=-$\frac{1}{3}$（t-3）²+3（0＜t＜6）．
∴當t=3時，S有最大值．

（3）存在．理由如下：
由（2）得，當S有最大值時，點M、N的坐標分別為：M（3，0），N（3，4），
則直線ON的函數(shù)關系式為：y=$\frac{4}{3}$x．
設點T的坐標為（0，b），則直線MT的函數(shù)關系式為：y=-$\frac{3}$x+b，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=-\frac{3}x+b}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3b}{4+b}}\\{y=\frac{4b}{4+b}}\end{array}\right.$，
∴直線ON與MT的交點R的坐標為（$\frac{3b}{4+b}$，$\frac{4b}{4+b}$），
∵S_△OCN=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴S_△ORT=$\frac{1}{3}$ S_△OCN=2，
①當點T在點O、C之間時，分割出的三角形是△OR₁T₁，
如圖2所示，作R₁D₁⊥y軸，D₁為垂足，則S_△OR1T1=$\frac{1}{2}$RD₁•OT=$\frac{1}{2}$•$\frac{3b}{4+b}$•b=2．
∴3b²-4b-16=0，
解得：b=$\frac{2±2\sqrt{13}}{3}$（負值舍去）．
∴b=$\frac{2+2\sqrt{13}}{3}$，
此時點T₁的坐標為（0，$\frac{2+2\sqrt{13}}{3}$）．
②當點T在OC的延長線上時，分割出的三角形是△R₂NE，如圖，設MT交CN于點E，
由①得點E的橫坐標為$\frac{3b-12}$，作R₂D₂⊥CN交CN于點D₂，則
S_△R2NE=$\frac{1}{2}$•EN•R₂D₂=$\frac{1}{2}$•（3-$\frac{3b-12}$）•（4-$\frac{4b}{4+b}$=$\frac{96}{b（4+b）}$=2．
∴b²+4b-48=0，
解得：b=±2$\sqrt{13}$-2（負值舍去）．
∴b=2$\sqrt{13}$-2．
∴此時點T₂的坐標為（0，2$\sqrt{13}$）．
綜上所述，在y軸上存在點T₁（0，$\frac{2+2\sqrt{13}}{3}$），T₂（0，2$\sqrt{13}$-2）符合條件．

點評 此題是四邊形綜合題目，綜合性較強，考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、二次函數(shù)的最值、一次函數(shù)的應用等知識點；本題綜合性強，難度較大．