Question

13．如圖，?ABCD中，AD=2AB，點(diǎn)E在BC邊上，且CE=$\frac{1}{4}$AD，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，連接EF．
（1）當(dāng)∠ABC=90°，AD=4時，連接AF，求AF的長；
（2）連接DE，若DE⊥BC，求∠BEF的度數(shù)；
（3）求證：∠BEF=$\frac{1}{2}$∠BCD．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，首先證明四邊形ABCD是矩形，利用勾股定理求出BD，再利用直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)即可解決問題；
（2）如圖2中，由題意$\frac{DC}{BC}$=$\frac{EC}{DC}$=$\frac{1}{2}$，由∠C=∠C，推出△DCE∽△BCD，推出∠BDC=∠DEC=90°，$\frac{DE}{BD}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，推出sin∠DBE=$\frac{1}{2}$，可得∠DBE=30°，由此即可解決問題；
（3）如圖3中，作∠BCD的平分線CH交BD于H．則易知$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BH}{DH}$=2，想辦法證明EF∥CH即可；

解答 （1）解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=4，AD=2AB，
∴AB=2，BD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵BF=DF，
∴AF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$．

（2）解：如圖2中，

∵ED⊥BC，
∴∠DEC=90°，
由題意$\frac{DC}{BC}$=$\frac{EC}{DC}$=$\frac{1}{2}$，∵∠C=∠C，
∴△DCE∽△BCD，
∴∠BDC=∠DEC=90°，$\frac{DE}{BD}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠DBE=$\frac{1}{2}$，
∴∠DBE=30°，
∵BF=DF，
∴EF=BF=DF，
∴∠BEF=∠DBE=30°．

（3）證明：如圖3中，作∠BCD的平分線CH交BD于H．則易知$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BH}{DH}$=2，

∵BF=DF，
∴BH：FH=3：1，
∵EC=$\frac{1}{4}$AD，AD=BC，
∴BC=4CE，
∴BE：EC=3：1，
∴$\frac{BF}{FH}$=$\frac{BE}{EC}$，
∴EF∥CH，
∴∠BEF=∠BCH=$\frac{1}{2}$∠BCD．

點(diǎn)評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、平行線的判定．角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題．